4、还缺少什么

　　那么我们还缺少什么呢 ？缺少的是根据情况预测结果的能力和根据结果探究成因的能力。 这两个能力很重要，是创新的基础。 前者有利于创造新产品，形成新工艺；后者有利于发现新理论。

　　拉普拉斯说，发现真理的主要工具是归纳和类比。 庞加莱说，数学推理的性质是什么 ？真是我们通常所认为的演绎吗 ？归纳能力是能够熟练使用归纳推理的能力。 现代归纳推理来源于培根，他在《新工具论》中谈到，就“帮助人们寻求真理”而言，三段论的“坏作用多于好作用”。 黑格尔也有类似的说法。数学在本质上研究的是关系（各种关系） ，最难研究的是因果关系。 数学这些年来最核心的研究也是因果关系，因果关系几乎无法用式子表达，但可以研究其内涵。 休谟利用归纳和类比思想研究了因果关系，虽没完全搞清楚因果关系， 但是对因果关系研究做出了很大的贡献，而这已经成为现代科学的动力。 穆尔在他的著作《论自由》中认真地总结了归纳推理。 归纳推理十分庞杂， 就方法而言， 包括枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察实验、比较分类、综合分析。 与演绎推理相反，归纳推理是一种从特殊到一般的推理。 穆尔说过“，这句话不是很确实的，归纳推理是一种从特殊到范围更广的推理。”归纳推理主要包括两种方法，归纳法和类比法。 借助归纳推理可以帮助学生培养预测结果和探究的能力，这是演绎推理不可比拟的， 因此从方法、思维角度来说，过去双基教育缺少了对归纳能力的培养，对学生未来走向社会不利， 对培养创新人才不利。

　　5 、如何培养归纳能力

　　现在的教育本质上是知识的教育，考察的是该教的内容是否教了，教了的知识学生是否掌握了。这样的教育是不够的。 我们必须知道教育应该是以人为本的教育，要考虑学生的全面发展。 不仅考虑学生知识的掌握，还要考虑身心的发展， 要考虑能力、思维的教育。 所以新课标提出的三维目标很重要，除了知识能力的考察外，还要考察过程的目标、情感态度的目标。

　　演绎推理表现为一种知识，归纳推理则表现为一种智慧。 知识和智慧有什么不同呢 ？我在一篇文章① 中谈到，“知识在本质上是一种结果，可能是经验的结果，也可能是思考的结果。”单纯追求知识的教育是一种结果的教育，这种教育要走在时代的前面是不可能的。“智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上， 而表现在经验的过程，表现在思考的过程中。”“智慧表现于对问题的处理，对危难的应付， 对实质的思考以及实验的技巧等等。”归纳能力是建立在实践的基础上的，更多地依赖于过程，依赖于经验的积累。

　　要培养一个人的创新能力，必须注重过程， 启发思考，总结经验，教会反思。“过程的教育”不是指在授课时要讲解、或者让学生经历知识产生的过程，甚至不是指知识的呈现方式。 而是学生探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程等等。 讨论知识产生的过程是必要的，但是不可能把知识产生过程都重复一遍，因此，重要的是加深对问题本身的理解， 并且能够抓住问题的本质，启发新的思考。 比如函数，现在函数的定义非常好，但是当初并不是这样定义的。 当初“function”是莱布尼兹给出的， 他当时定义的只是图形与数量的对应。 虽然他的定义是有问题的，但是他抓住了函数最本质的东西。 虽然以后定义改的非常好了，本质却看不见了。 一个学者或发明家得到的最后结论可能是非常完美，但头脑中思考的是非常简洁的东西。 我在教研究生时，总是让学生先读懂华丽文章的背后思考的东西是什么、思考的主线是什么、思考的核心是什么， 这个读出来才能发明创造， 把根本的东西吃透了才能得到新的东西。 现在，数学课堂上讨论的很热闹，讨论时是一锅粥，讨论完了还是一锅粥。 为什么呢 ？老师必须帮学生总结，不是总结结论对还是错， 而是讨论过程中孩子的思考对还是不对，思考的是符合常理还是不符合常理。 老师帮助孩子反思总结，积累经验，这是我们的目的。 我们必须清楚，世界有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历，比如智慧。 智慧并不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验，你只能让学生在实际操作中磨练，自己去感悟， 去积累去反思。

　　下面我举例说明。

　　先讲分类。 分类是很重要的。 可以给小学三年级以下的学生出这样的题目：自己选择某一个标准将全班同学分成两类，并与同学交流分类的标准和分类的结果。 分类有个基本的原则，能把类分出来，分类之后得到的结果和标准符合就行， 无所谓对错。 分类在数学中是很重要的， 一个好的分类必须抓住事物的本质特征。 对于这样的问题，答案是无所谓对错的，只要分类的结果与分类的标准一致就可以。 这种问题可以让学生体会到， 标准是可以自己定的，这种思维是创新的根本。 如果所有的发明创造都是在别人的标准下的发明创造，这是要吃亏的，我们要突破这些。 所以从小要教给孩子们：数据可以自己获取，标准可以自己定， 结论也可以自己给。

　　下面是北大附中张思明老师给出的例子：

　　如图所示， 桌子上散落着各式各样的扣子， 请同学们想一想能把这些扣子分成几类 ？分类的标准是什么？

　　这个问题难一些， 可以按照扣子的颜色分类，也可以按照扣子的眼数或形状分类， 让孩子们来分。不管开始是怎么分的，这样分下去，分到一定程度后，结果是一样的。 让学生知道，可以从不同角度思考问题，这都是归纳。 分类基本思想：从一个大前提出发分出两类，再细分，标准逐渐加细，但最后结果一样。

　　到了初中阶段，问题就可以更复杂了：

　　某电视台希望了解本地区居民喜欢的电视节目的类型，请同学帮助设计一个调查方案。

　　这个问题就十分复杂了，不同年龄段的人喜欢的节目不同，光知道这个还不行， 还得知道不同年龄段的人数占总人口的比例；涉及到不同文化背景及其所占比例； 涉及到不同类型的人看电视的时间；涉及到需要调查的人数等等。 在做这个调查之前要把方案设计得很周密， 分类分得很仔细，把这个特性抓住。 但是，这个问题的核心还是在于标准和结果的关系。 学生通过类似这样的贯穿始终的训练，是能够逐渐领悟归纳的思想的。

　　下面说归纳。 归纳这种思想方法与分类有关，归纳的基本思路是：在一类事物中，如果我们考察的所有事物都有性质 A ，则认为这类事物都具有性质 A.

　　归纳思想在代数的研究中体现得非常多。 比如高斯曾说，在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。 欧拉则认为，今天人们所知道的数的性质， 几乎都是由观察所发现的 ……这类知识是通常所说的用归纳所获得的。 包括哥德巴赫猜想、费尔马大定理。 下面举一个代数的例子：

　　在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16 个，如果椅子腿与凳子腿加起来共有60 个，有几个椅子和几个凳子？

　　这是“鸡兔同笼”的问题的变形， 但是椅子和凳子相差一条腿，问题相对简单了一些。 老师在教的时候要灵活一些， 不要显得太聪明，要让学生思考。 对于低年级学生，可以让学生列表尝试：

　　这个方法看起来很笨拙， 实际上很好， 因为这是归纳。 只要掌握了这种方法， 孩子们碰到新问题就会这样来思考了。 不要一开始就讲道理， 孩子就没有时间思考了。到了高年级，可以仍然用尝试的方法列出方程

　　再比如， 级数求和（数学归纳法）

　　虽然可以用数学归纳法证明，但得事先知道结论，必须先拿数试一试，然后再用数学归纳法。

　　B（n） / A （n）= （2 n + 1） / 3

　　B（n）= A （n）（2 n + 1）/ 3 = n（n + 1）（2 n + 1）/ 6

　　对于平方和的情况，我们用 B（n） 除以 A（n） 试一试，就会发现一组比较有规律的数，我们可以猜测一般的结果，然后用数学归纳法验证。

　　对于立方和的情况，试一下，发现更简单。 事实上通过这种方法可以得到更一般的结果

　　对于 k 次方和的情形，我们猜测是一个的式子，再通过代入 n个数求出系数，从而确定这个方程。

　　看看几何中的例子，观察三棱锥、四棱锥、三棱柱、五棱锥，我们发现

　　多面体的欧拉公式：

　　F（面） + V （顶） = E（棱） + 2.

　　再谈类比。 类比是指，一个事物具有性质 A、B、C，就有结论 D；还有一个事物也具有性质 A 、B 、C，也有结论 D. 又有一个事物也具有性质 A、B、C，它是否也有结论 D 呢 ？这与归纳有所不同。 类比主要用在几何里。 开普勒说过：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师， 它能揭示自然界的秘密，在几何中它应该是最不容忽视的。”

　　比如， 平面上三条直线可以形成一个封闭图形；空间上四个面可以形成一个封闭图形。 还有庞加莱猜想。

　　这些也许就是“过程的教育”，让学生自己探索答案，而不一定是通过讲道理分析出答案。 通过“道理”直接给出公式固然是好的，但是通过有规律的计算寻求这个规律是得到一般结果的有效手段，特别是能够帮助学生更直观地理解“道理”。 教师在讲课的时候不能太聪明，教师可以与学生一起探索尝试，这是归纳推理的手法， 也是我们过去的数学教育忽视的地方。