试证：在10×10表

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

9 0 1 2 3 4 5 6 7 8

8 9 0 1 2 3 4 5 6 7

7 8 9 0 1 2 3 4 5 6

6 7 8 9 0 1 2 3 4 5

5 6 7 8 9 0 1 2 3 4

4 5 6 7 8 9 0 1 2 3

3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

2 3 4 5 6 7 8 9 0 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

　　不同行及不同列中共取出10个数，则必有两个数相同。

　　证明  将已给表中的第i行第j列的元素记作a_ij，将第j 列中元素记为b_ij=j－a_ij，于是原来表变为新表：

 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1

－8  2  2  2  2  2  2  2  2  2

－7  －7  3  3  3  3  3  3  3  3

－6  －6  －6  4  4  4  4  4  4  4

－5  －5  －5  －5  5  5  5  5  5  5

－4  －4  －4  －4  －4  6  6  6  6  6

－3  －3  －3  －3  －3  －3  7  7  7  7

－2  －2  －2  －2  －2  －2  －2  8  8  8

－1  －1  －1  －1  －1  －1  －1  －1  9  9

－0  －0  －0  －0  －0  －0  －0  －0  －0  10

　　将负数和－0加上10，所以各行相等，它们是1，2，…，9，10。即有

　　b_ij≡i（mod10）

　　所以

　　a_ij≡j－i（modl0）

　　用反证法证明如下。如果在原表中能从第1行中取出a_1i1，第2行中取出a_2i2，……，第10行中取出a_10i10，它们是10个不同数，这证明了

　　（1）对a_1i1，a_2i2，…，a_10i10而言，i_l，i₂，…，i_l0为1，2，…，10的－个排列；

　　（2） a_1i1，a_2i2，…，a_10i10为0，1，…，9的－个排列。

　　所以

　　这推出矛盾。至此证明了在不同行及不同列取出的数，至少有两个相同．