问题2 有12只球，编号1——12，它们外形相同，其中有11只重量相等，另外1只重量略有不同（称作坏球），但不知这只球是偏轻还是偏重。要求用一架天平称量3次，找出这只坏球，并判定它是偏轻还是偏重。

　　一开始，有24种可能：1号偏轻，2号偏重，2号偏轻，2号偏重，等。故熵 H0=ln24。如下表，以0表示不可能，1表示确定，“？”表示有可能。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

偏轻

？

？

？

？

？

？

？

？

？

？

？

？

偏重

？

？

？

？

？

？

？

？

？

？

？

？

　　每称量一次，获得 ln3 的信息，三次获得 3ln3=ln27 的信息，ln27>ln24 ，故问题可能得到解决。

　　第一次称量，三个球一组，例如1234在左边，5678在右边，结果有三种可能。假设1234>5678（表示左边重于右边，以下类似），如下表。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
偏轻	0	0	0	0	？	？	？	？	0	0	0	0
偏重	？	？	？	？	0	0	0	0	0	0	0	0

　　其中不确定的还有8种可能，H1=ln8 .第一次称量获得ln3 的信息，但真正起作用的稍小于ln3 .

　　注意第二次称量至少要排除5种可能。因为如果剩下仍有4种可能，熵为ln4>ln3 ，那么最后一次就不可能得出结果。如果 取12在左边，34在右边，当结果是12>34 时，得到下表。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
偏轻	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
偏重	？	？	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

　　剩下只有两种可能，再一次称量就可以得出结果。但如果12=34，如下表：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
偏轻	0	0	0	0	？	？	？	？	0	0	0	0
偏重	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

　　还有4种可能，由于ln4>ln3 ，已经不可能成功了。 因此第二次比较12与34是不行的。

　　几次试验，我们可以发现，必须采用“轻重混合”的方法，即把可能轻的与可能重的混合放在一边。例如，156左边，28右边，但为了使得两边个数一样多，右边添一个肯定是正常的球，例如9号。于是比较156与289.以下又有三种情况：

　　如果156>289，可得到下表。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
偏轻	0	0	0	0	0	0	0	？	0	0	0	0
偏重	？	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

　　只剩下两个可能，要么1偏重，要么8偏轻，再来一次当然可以解决。例如比较1和2，不可能出现1<2，如果1=2，说明8号偏轻；如果1>2 说明1号偏重。

　　如果156<289，可得到下表。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
偏轻	0	0	0	0	?	?	0	0	0	0	0	0
偏重	0	?	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

　　只剩下三个可能：2偏重，5偏轻，6偏轻。第三次比较5，6.如果5<6 说明5号偏轻；5>6 说明6号偏轻；5=6 说明2号偏重。

　　如果156=289，可得到下表。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
偏轻	0	0	0	0	0	0	?	0	0	0	0	0
偏重	0	?	?	?	0	0	0	0	0	0	0	0

　　剩下也是三个可能：2偏重，3偏重，7偏轻。第三次比较2，3.如果2<3 说明3号偏重；2>3 说明2号偏重；2=3 说明7号偏轻。

　　第一次称量如果得到1234<5678 ，或1234=5678，可类似分析。

　　总之要做到第一次称量后的可能结果数要<=9；第二次称量后可能结果数要<=3。

　　从这个例子可以看出，尽管这个问题可以得到解决，但称量的方法不对，仍然解决不了。必须正确安排，使得每次称量得到尽可能多的信息才行。

　　对各种情况的分析，总结成为下表。

第一次称量	第二次称量	第三次称量	结论：坏球为
1，2，3，4<5，6，7，8	1，5，6<2，8，9	1<9	1 轻
		1=9	8 重
	1，5，6=2，8，9	3<4	3 轻
		3=4	7 重
		3>4	4 轻
	1，5，6>2，8，9	5<6	6 重
		5=6	2 轻
		5>6	5 重
1，2，3，4=5，6，7，8	9，10<5，11	9<10	9 轻
		9=10	11 重
		9>10	10 轻
	9，10=5，11	1<12	12 重
		1>12	12 轻
	9，10>5，11	9<10	10重
		9=10	11 轻
		9>10	9 重
1，2，3，4>5，6，7，8	1，5，6<2，8，9	5<6	5 轻
		5=6	2 重
		5>6	6 轻
	1，5，6=2，8，9	3<4	4 重
		3=4	7 轻
		3>4	3 重
	1，5，6>2，8，9	1=2	8 轻
		1>2	1 重

　　引申一下，如果是13个球，其中有12只重量相等，另外1只重量略有不同，但不知这只球是偏轻还是偏重。还能否用一架天平称量3次，找出这只坏球，并判定它是偏轻还是偏重？

　　注意这里一开始有26种可能，熵H0=ln26<ln27，似乎可以。但实际上，假设第一次称量比较1234与5678，如果二者不等，同上面可以解决。如果二者相等，则剩下5个球计10种可能，ln10>ln9=2ln3，后面两步无论如何得不到ln10 的信息，故不论怎样安排，都无法解决。因此，一开始信息量的分析似乎可以解决，但如果无法安排好，即有的称量，总是获得一些重复的信息，那问题就是不可解的。